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  • Hiroshi Ikebuchi

平成31年度都立高入試問題 数学 大問5

東京都都立高入試数学で一番やっかいな立体図形の問題ですね(^^



さて、(問1)です。

点Qと頂点Cと頂点Dを結ぶと切断断面図の三角形バージョンができます。上から見ると、底辺は正三角形なので、点Pが中点ならば二等辺三角形になります。


断面図三角形(QCD)の底辺(CD)は6cmで問題ありませんが、QCとQD(2つとも同じ)の長さですね。


横から三角形ABCを見ると、BQが3cm、ということは3cm、6cmと斜辺xcmの直角三角形を三平方の定理で導きます。


3の2乗+6の2乗=xの2乗

これを解いて、x=3√5


次は、切断三角形QCDを半分に切ります。QPですね。 すると、角CPQは直角なので、直角三角形の出来上がり。また、三平方の定理登場。


QPをyとして、3√5の2乗+3の2乗=yの2乗

これをyについて解くと、+-6 よって6cmが正解

----


 

問2)

さあ、最難題です。頭の中で図形をいろいろ回したり、、、そのうち、わけわかめになります。。。

ひとまず、裏紙で作ってみました。



問題に書いてある向きですとこんな感じ。↑↑



↑ 立てた状態で反対側から見た感じ



で、底辺を面ABCにして斜め上から撮りました。

頂点Aを左にして横にすると、2等辺三角形(面ACD)を見るため、点Rの高さが図れません。うーん、と思い、紙で立体を作成して反対向き(上記図)にしたら「おー!」となりました。


面BDAは直角三角形ですので、ここで中点連結定理が使えます。 ただ、この面をそのまま使ってはいけません。


高さは頂点Dから辺BCの中点に下ろした線になります。まずはこの長さを出します。(Zとします)


3の2乗+Zの2乗=6の2乗

これを解いて、Z=3√3


で、点RはADの中点なので、その半分。3√3/2となります。これで、三角錐の高さが出ました。


あとは、底辺(三角形AQP)を求めます。これは簡単なので、解説省略。

計算すると、底辺は24


よって、24×2分の3√3×1/3(推だから)=12√3


はーー、やっと、めでたしめでたし(^^

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